تحقیق آشنایی با ریاضیات

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 34 صفحه

قسمتی از متن word (..doc) :

‏1
‏1.1 مقدمه: ‏ آشنایی با ساختمان منطقی جمله هایی که مطالب ریاضی بوسیله آنها بیان می شوند مستلزم مفاهیم گزاره، گزاره نما، و اسم نماست. این مفاهیم که بخشی از منطق ریاضی مقدماتی محسوب می شوند می توانند مفاهیم و احکام ریاضی را قابل فهم و قابل توضیح نمایند. در ع‏ص‏ر حاضر ایفای نقش منطق ریاضی در توجیه و قابل انتقال نمودن مفاهیم در پیشرفت و تکامل کامپیوتر بر هیچکس پوشیده نیست.
‏2.1 حساب گزاره ها
‏1.2.1 تعریف: ‏گزاره جمله ای خبری است که یا راست است یا دروغ اگرچه راست یا دروغ بودن آن معلوم نباشد.
‏ برای هر گزاره یک ارزش راستی یا دروغی یا مختصراً یک ارزش قائل می شویم. مثلاً هر یک از جملات‏«‏عدد 3‏ فرد است‏»‏،‏«‏عدد 6‏ زوج است‏»‏ و‏«‏ اصم است‏»‏ گزاره هستند. هر یک از گزاره های اول و دوم راست هستند ولی راست یا دروغ بودن گزاره سوم یا مقدمات کنونی، برایمان معلوم نیست ولی در هر حال یا راست است یا د‏رو‏غ.گزاره ها بطورکلی به سه دسته تقسیم می شوند: گزاره شخصی، گزاره کلی و گزاره جزئی( یا وجودی) ‏نوع اول گزاره ای است که از شیء معینی خبر می دهد. و در این بخش مورد بحث ماست. نوع دوم و سوم را در بخش آینده تعریف و بررسی خواهیم کرد.
‏ از ترکیب گزاره ها گزاره های مرکب حاصل می شود این عمل با رابطهای گزاره ای امکان پذیر است.
‏2
‏2.2.1 رابطهای گزاره ای: ‏گزارها را با حروف p‏ ، q‏ ،v‏ ،s‏ و یا با حرف اندیس دار نظیر ‏،‏،... نشان می دهیم و هر نوع ترکیبی از آنها با الفاظ زیر که رابطهای گزاره ای نامیده می شوند امکان پذیر است.
‏«‏چنین نیست که‏»‏،‏«‏و‏»‏،‏«‏یا‏»‏،‏«‏ اگر‏»‏،‏«‏ اگر و فقط اگر‏»‏
‏علایم ~‏ ،‏&،‏،‏( یا ‏)،‏( یا‏) نیز به ترتیب برای این رابط ها بکار خواهند رفت. اینک به توضیح آنها می پردازیم:
‏ ‏3.2.1 نقیض‏: اگر P‏گزاره ای باشد‏«‏چنین نیست کهP‏»‏ را نقیض P‏ می گوییم و با علامت ~P‏ نشان میدهیم. علامت ~‏ را ناقص و گزاره ای را که ناقص در آن عمل می کند دامنة عمل ناقص می نامیم. پیداست که اگر گزاره ای راست(دروغ) باشد نقیض آن دورغ( راست) است.
‏ بعنوان مثال نقیض گزاره‏«6‏ عدد اول است‏»‏ گزارة‏«‏چنین نیست که 6‏عدد اول است.‏»‏ و گزاره‏«6‏ عدد اول نیست‏»‏ خواهد بود.
‏4.2.1 ترکیب عطفی‏: اگر p‏و q‏ دو گزاره باشد گزاره‏«p,q‏ ‏»‏ را ترکیب عطفی p‏ با q‏ می گو‏ی‏یم و با علامت ‏نشان میدهیم. علامت& را عاطف و p‏ وq‏ را مؤلفه های
‏عاطف نامیم. ترکیب عطفی ‏ فقط و فقط وقتی راست است که هر دو مؤلفه ‏آن‏ گزاره های راستی باشند.
‏ از الفاظی که از نظر منطقی مترادف عاطف است لفظ‏«‏ ولی= اما‏»‏ است مثلاً گزاره‏«6‏ زوج است ولی اول نیست‏»‏ به معنی‏«‏ 6‏ زوج است و 6‏اول نیست‏»‏ خواهد بود که البته گزاره ای راست است.
‏3
‏ ‏5.2.1 ترکیب فصلی‏: اگرp‏ وq‏ دو گزاره باشند گزارة‏«p‏ یاq‏ ‏»‏ را ترکیب فصلی p‏ با q‏ نامیده به علامت p v q‏ نشان میدهیم. این گزاره فقط و فقط وقتی د‏رو‏غ است که هردو مؤلفه آن دروغ باشند‏.‏ توجه کافی به تفاوت این‏«‏ ‏ی‏ا‏»‏ که یاء منطقی نامیده می شود با لفظ عادی‏«‏ یا‏»‏ که در استعمال عادی برای ترکیب گزاره ها بکار میرود مبذول دارید. در استعمال عادی لفظ‏«‏یا‏»‏ گزارة ترکیب شده فقط وفقط وقتی راست است که یکی از مؤلفه ها راست و دیگری د‏رو‏غ باشد این نوع‏«‏یا‏»‏ را یاء مانع جمع می نامیم.
‏در منطق لفظ‏«‏یا‏»‏ همواره به معنی منطقی بکار می رود و ‏«‏یای‏»‏ مانع جمع را با تکرار لفظ‏«‏یا‏»‏ و نیز با لفظ‏«‏ الا‏»‏ مشخص می کنند. مثلاً گزاره های
‏«‏ یا 5‏ فرد یا 5‏ز وج است‏»‏
‏«‏ 5‏ فرد است والا زوج است‏»‏
‏به یک معنی هستند که مشخص کننده یای مانع جمع است.
‏ ‏6.2.1 ترکیب شرطی: ‏اگر p‏ و q‏ دو گزاره باشند گزارة‏«‏ اگر p‏ آنگاه q‏ ‏»‏ را ترکیب شرطی p‏ باq‏ می نامیم و آنرا به علامت ‏ ( یا ‏) نشان می‏ ‏دهیم.
‏در اینجا مؤلفه p ‏ مقدم و مؤلفه q‏ تالی گفته می شود . ترکیب شرطی‏ ‏ ‏ فقط وقتی دروغ است که p‏گزارة راست و q‏ گزارة دروغ می باشد.
‏ تذکر1: ارزشهای گزارة عطفی ‏ و گزاره ‏ از ترتیب مؤلفه ها مستقل است ولی ارزش گزارة شرطی چنین نیست، یعنی ممکن است ‏ راست ولی ‏دروغ باشد و یا بالعکس ‏ دروغ و‏ راست باشد
‏4
‏تذکر 2: بیان ترکیب شرطی‏«‏ اگر p‏ آنگاه q‏ ‏»‏ در ریاضیات و نیز در زبان عادی به صورت های متنوعی امکان پذیر است که عبارتند از:
‏ اگر p‏ ، q‏ ؛
‏هرگاه p‏ آنگاه q‏ ؛
‏در حالتی که p‏ ، q‏ ؛
q‏ اگر p‏ ،
q‏ به شرطی p‏ ؛
P‏ و فقط وقتی که q‏ ؛
P‏ شرط کافی برای q‏ است؛
q‏ شرط لازم برای p‏ است‏ ؛
‏شرط کافی برای q‏ آن است که p‏ ؛
‏شرط لازم برای p‏ آن است که q‏ ؛
P‏ مستلزم q‏ است؛
q‏ از p‏ لازم می آید؛
‏.
‏7.2.1 ترکیب دو شرطی‏ : گزارة
‏«‏ اگر p‏ آنگاه q‏ و اگر q‏ آنگاه p‏ ‏»‏ (1)
‏ترکیب عطفی دو گزارة شرطی ‏ و ‏ است که می توان آن را به صورت زیر
‏نوشت: